transformada de Laplace

Laplace, transformada de

 
mat. Transformación que asocia a cada función real f. (t) una función compleja F (z) (z: número complejo).
Ejemplos ?
Los coeficientes de esta serie en el caso nu=0 tienen la siguiente forma explícita: a_k00 frac a_k (s+ sqrt 1+s2) nu+k o: sum_ k frac 1+ xi2 2 xi mathcal L f left(frac 1- xi2 2 xi right), donde mathcal L f es la transformada de Laplace de ƒ.
La transformada de Laplace de una función f (t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F (s), definida por: siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando f (t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.
También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F (s) típicamente existe para todos los números reales s a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t).
La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números): Expresiones en las que se utiliza la función integral exponencial La transformada de Laplace del logaritmo natural El primer término de la serie de Taylor de la función zeta de Riemann, donde es la primera de las constantes de Stieltjes Función digamma Fórmula del producto de Weierstrass para la función gamma Desigualdad de Función φ de Euler Proporción de crecimiento de la función divisor El cálculo de la constante Meissel-Mertens El tercero de los Teoremas de Mertens.
Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.
Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
La resolución de estos circuitos puede hacerse con generalizaciones de las leyes de Kirchoff, pero requiere usualmente métodos matemáticos avanzados, como el de Transformada de Laplace, para describir los comportamientos transitorios y estacionarios de los mismos.
La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito está en serie:: I(s) Cs over 1 + RCs V_ in (s) La respuesta a impulso para cada voltaje es la inversa de la transformada de Laplace de la correspondiente función de transferencia.
La frecuencia de corte f_c del circuito que define el límite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aquéllas que no lo son; es igual a:: f_c = frac 1 2 pi RC (en Hz) Por razones de simplicidad, el análisis temporal se efectuará utilizando la transformada de Laplace p.
Igualmente es posible derivar estas expresiones de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:: frac V_ in - V_C R = C frac dV_C dt: V_R = V_ in - V_C, Las soluciones son exactamente las mismas que aquéllas obtenidas mediante la transformada de Laplace.
Utilizando la Transformada de Laplace se puede calcular la respuesta en frecuencia a partir de la función de transferencia, en forma similar al caso discreto con la Transformada Z.