transfinito

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transfinito, a

adj. MATEMÁTICAS Se aplica a los números empleados para numerar los conjuntos infinitos.

transfinito, -ta

 
adj. mat. Díc. del número cardinal de un conjunto no finito.
Ejemplos ?
Tras las demostraciones acerca de la libertad de contradicciones para una parte de la aritmética realizadas por Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand y Mojżesz Presburger, Gerhard Gentzen arribó a una demostración sobre la libertad de contradicciones para el primer orden de la aritmética de Peano, para la que, sin embargo, utilizó la así llamada inducción transfinita.
La importancia de los conjuntos bien ordenados reside en la inducción transfinita, que afirma que en un conjunto de estas características, las propiedades que un elemento hereda de sus predecesores son poseídas por la totalidad de los elementos de.
Este argumento puede refinarse en el llamado principio de inducción transfinita, separando en casos según el tipo de ordinal: donde se refiere a un ordinal límite.
Mediante estas clases numéricas estableció la clasificación de las potencias infinitas, e introdujo la notación de los álefs, en la que n representa la clase numérica n + 1 (donde n en general era un transfinito u ordinal), que formaban otra serie transfinita de todas las posibles cardinalidades infinitas.
La serie de los alefs asigna un cardinal de Von Neumann infinito α a cada ordinal α mediante recursión transfinita: y por esto se denota habitualmente al cardinal de los números naturales como 0.
Una aplicación importante de este principio es la recursión transfinita, que permite definir una función sobre los ordinales, especificando la imagen de un ordinal a partir de las imágenes de sus predecesores: donde es la restricción de en.
Pueden definirse unas operaciones de suma, multiplicación y exponenciación de ordinales de manera natural, mediante recursión transfinita o mediante definiciones «geométricas».
Los números de la clase numérica (II) son todos los que tienen la misma potencia que la clase numérica (I), esto es, que sean numerables (como todos los transfinitos mostrados arriba), etc. También demostró que en la serie transfinita se dan infinitas clases numéricas cada vez más grandes.
Se requiere que los dominios de G 1, G 2, y G 3, sean lo bastante amplios como para que las propiedades anteriores tengan sentido. La unicidad de la secuencia que satisface dichas propiedades se puede demostrar usando inducción transfinita.
Más generalmente, se pueden definir objetos por recursión transfinita en una relación bien fundada R (no se necesita siquiera que R sea un conjunto; puede ser una clase propia, si se asume que para todo x, la colección y y R x es un conjunto).
La recursión transfinita es un método de construcción o definición estrechamente relacionado con el concepto de inducción transfinita.
Más formalmente, se puede enunciar el teorema de recursión transfinita como sigue: dadas tres funciones G 1, G 2, y G 3, existe una única secuencia transfinita F con dom(F) = Ord (la clase propia de todos los ordinales) tal que: F (0) = G 1 (∅) F (α + 1) = G 2 (F (α)), para todo α ∈ Ord, y F (α) = G 3 (F α), para todo ordinal límite α ≠ 0.