lema de Zorn

Zorn, lema de

 
mat. Lema según el cual en todo conjunto S no vacío, ordenado inductivamente, existe un elemento maximal.
Ejemplos ?
Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K.
La preferencia por el uso de "cadena" para referirse a los subconjuntos mencionados probablemente viene de la importancia que éstos tienen en el lema de Zorn.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente: Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma: El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base.
Dada una Extensión de cuerpo L / K, podemos usar el lema de Zorn para mostrar que siempre existe un máximo subconjunto algebraicamente independiente de L sobre K.
Usando el lema de Zorn, se puede demostrar que cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal; además, cualesquiera dos bases ortonormales del mismo espacio tienen el mismo cardinal.
l lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente: Debe su nombre al matemático Max Zorn.
Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros.
Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica. Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal.
Si (G_ J_r,w_r)_ r in L es una le -cadena (L es un orden lineal) de elementos de S, entonces, evidentemente,: (bigcup_ r in L G_ J_r, bigcup_ r in L w_r) in S, por lo que se puede aplicar el lema de Zorn y concluimos que existe un (G_J,w) maximal.
Definimos un p -subgrupo de Sylow en un grupo infinito como un p -subgrupo (es decir, un subgrupo donde el orden de todo elemento es una potencia de p) maximal respecto a la inclusión entre el conjunto de todos los p -subgrupos. La existencia de tales subgrupos se garantiza mediante el lema de Zorn.
En lógica de segundo orden, no obstante, el teorema del buen orden es más estricto que el axioma de elección: del teorema del buen orden se deduce el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema del buen orden. El teorema del buen orden se obtiene del lema de Zorn.
Si E es una cadena en A, la unión de los conjuntos de E puede ordenarse de forma tal que lo transforma en una prolongación de cada conjunto de E; ese orden es un buen orden y, por tanto, una cota superior de E en A. Podemos, pues, aplicar el lema de Zorn para concluir que A tiene un elemento maximal, por ejemplo big(M,R big).