holomorfa

holomorfa

 
adj. mat. Díc. de la función de variable compleja que es analítica y que está definida en un conjunto abierto y conexo.
Ejemplos ?
Sin embargo, muchas funciones holomorfas poseen un número infinito de ceros, por ejemplo: De donde se sigue que el conjunto de ceros de esta función es: En cualquier caso se puede demostrar que para una función holomorfa no-nula el conjunto de sus ceros constituye un conjunto numerable sin puntos de acumulación.
Con el fin de establecer las propiedades relativas a la familia de funciones (f circ n)_ n in mathbb N iteradas de la función holomorfa f definida sobre una superficie de Riemann (es decir, una variedad compleja de dimensión uno), se apoya sobre los resultados del análisis complejo (principio del máximo, teorema de los resíduos, teorema de Montel, teoría de funciones equivalentes...), de la topología general, de la geometría compleja (teorema de la aplicación conforme y teorema de uniformización de Riemann, hyperbolicidad, teoría de aplicaciones y la dinámica general.
Dinámica holomorfa (dinámica de funciones holomorfas) en una variable compleja en varias variables complejas Dinámica conformal une la dinámica holomorfa en una variable compleja con dinámica diferenciable en una variable real.
Tomemos p(z) un polinomio con una variable compleja z, es una función holomorfa de mathbb C (el conjunto de números complejos). Para cada punto de partida z_0 en el conjunto de números complejos se construye la serie (z_n)_n de iteraciones definidas por la fórmula de recurrencia:: z_ n+1 =p(z_n).
Como una ramificación de log z es holomorfa, y como su derivada 1/ z no es nunca 0, esta función define un transformación conforme.
Entonces se tiene: donde operatorname Res (f, z_k) es el Residuo de la función f en el punto singular z_k. Sea f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial f(z),dz es cerrada.
(Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - z ∈ R: z ≤ 0.
La función raíz cuadrada se puede definir como: sqrt z = e frac 1 2 ln z y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/ z es holomorfa sobre z: z ≠ 0.
Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U.
Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a " significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.
La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.
Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real: es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena. Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z 0 en U, se dice que f es holomorfa en U.