ecuación de Poisson

Poisson, ecuación de

 
fís. Generalización de la ecuación de Laplace para el potencial gravitatorio o el potencial eléctrico que los relaciona phiv (x, y, z) con la distribución espacial de masas (o cargas) cuya densidad en el punto (x, y, z) está dada por ρ (x, y, z).
Ejemplos ?
En teoría de la relatividad aparece otra constante llamada constante de la gravitación de Einstein que viene dada por: Esta constante es el factor de proporcionalidad entre el tensor de curvatura de Einstein (que es una medida de la intensidad del campo gravitatorio) y el tensor energía-impulso de la materia que provoca el campo: El equivalente clásico de esta última ecuación es la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio: Experimento de Cavendish; con una detallada explicación de cómo se midió la constante G.
Así, la nueva ecuación de Poisson queda de la forma:: Delta frac Phi c2 = frac 1 2 kappa left(rho + 3 P right), donde la cantidad κ se llama constante de Einstein y vale:: kappa = frac 8 pi G c4, ρ y P corresponden respectivamente a la densidad de energía y de presión.
En relatividad general, las ecuaciones que determinan el campo gravitacional se deducen análogamente a la ecuación de Poisson en gravitación universal, a saber:: Delta Phi = 4 pi G mu, donde Δ representa el operador laplaciano, Φ el potencial gravitacional, G la constante de gravitación y μ la densidad de masa (o masa volúmica).
En primer lugar definimos el producto escalar (cdot, cdot) típico del espacio L 2 (Ω): Ahora derivamos la forma débil, multiplicando la ecuación por una función diferenciable v, tenemos que: Suponiendo que la función v, es de Soporte compacto contenido en el interior dominio Ω, e integrando por partes se tiene: Como la función v, es arbitraria, tenemos que si u es una solución "fuerte" de entonces también será una solución "débil" de: Donde se han definido las funciones: La forma ecuación es precisamente la "forma débil" de la ecuación de Poisson sobre el espacio de Sobolev H_01(Omega) subset L2(Omega).
Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electroestático inválido. Ecuación de Poisson Función armónica Ireneo Peral, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales,
Si el dieléctrico varía en el espacio, entonces la ecuación de Poisson toma la forma: nabla cdot varepsilon (textbf r) nabla phi (textbf r) = -4 pi rho (textbf r) Puesto que tal distribución de carga puede estar en un medio complejo se puede promediar la respuesta del medio ante ese campo eléctrico por medio de los momentos dipolares.
almidón, glucógeno, celulosa, quitina, etc.) Nanotubo de carbono Polímeros Aplicación de la ecuación de Poisson en macromoléculas
En muchos problemas de la física de plasma, no resulta útil calcular el potencial eléctrico a partir de la ecuación de Poisson porque las densidades de electrones e iones se desconocen a priori, y aun si se las conociera, porque a causa de la cuasi neutralidad la densidad de carga neta es la pequeña diferencia entre dos magnitudes grandes, que son las densidades de carga de electrones e iones.
Teoría de Campos Electromagnéticos (Electrostática): Existe un teorema conocido como el teorema de la unicidad, que establece que "si una función potencial satisface a la ecuación de Poisson en toda la región y cumple con las condiciones de borde en la superficie de los conductores, esta función es única.", este enunciado, se conoce como teorema de unicidad del potencial.
En el caso que los campos no dependan del tiempo (campos electrostáticos y magnetostáticos) las derivadas con respecto al tiempo en los operadores Box son cero, y las ecuaciones de Maxwell se reducen a:: nabla2 varphi - mu_0 mathbf J, donde ∇² es el operador laplaciano, que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A).
La distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico, Phi(mathbf r), que satisface la ecuación de Poisson:: nabla2 Phi(mathbf r) 1 N q_j, n_j(mathbf r), siendo varepsilon_0 la permitividad eléctrica del vacío.
Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial instantáneo en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann:: nabla2 Phi(mathbf r) 1 N q_j n_j0, exp left(- frac q_j, Phi(mathbf r) k_B T right).