Los artículos 30, después el 33 y los siguientes, exponen diversos métodos derivados del teorema chino del resto; pero este no se determina con un enunciado formalmente identificado. El artículo 37 aborda los sistemas de congruencias de primer grado con varias incógnitas.
Esta sección contiene, para empezar, algunos resultados sobre los enteros, demostrados con la ayuda de las congruencias: el lema de Euclides aparece en el artículo 14, el teorema de descomposición en producto de factores primos es el objeto de estudio del artículo 16.
Gauss deduce numerosas consecuencias, entre las cuales uno de los lemas llamados 'de Gauss' (artículo 19) y sobre todo la resolución de las congruencias lineales, es decir, las ecuaciones de primer grado en los residuos (art.
Sobre las congruencias de segundo grado:Sección V. Sobre las formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado:Sección VI. Aplicaciones varias de las cuestiones precedentes:Sección VII.
Verdad es que, a los principios, por congruencias de estado, publiqué su galanteo; pero después de miraros (¡Ay Cielos, qué mal me animo!) Aparte ¿quién es de juicio tan falto (¡Que así ofenda lo que adoro!) Aparte que no se os rinda?
En su Análisis y Síntesis, puede haber sido el primero en afirmar que todo número par perfecto es de la forma 2 n −1 (2 n − 1) donde 2 n − 1 es primo, pero no fue capaz de justificar este resultado, que Leonhard Euler demostró más tarde que en el siglo XVIII. Alhazen resolvió problemas que involucran congruencias utilizando lo que ahora se llama el teorema de Wilson.
Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:: a equiv b pmod m y c equiv d pmod m podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias: a+c equiv b + d pmod m y ac equiv bd pmod m Aritmética modular Clase de equivalencia
Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias.
Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.
Las congruencias permiten también resolver problemillos esencialmente lúdicos al estilo hallar la cifra de las unidades de 2003 2005.
Aplicando varias veces lo anterior se muestra que es lícito añadir o sustraer cuantas veces se quiere "n" a un término sin cambiar su valor en Z n: Se dice que a y a + k·n son iguales módulo n o congruentes módulo n y se llama cálculo modular o congruencias esta clase de igualdades.
La colocación en el plano horizontal o vertical correcta o incorrecta, la orientación hacia la izquierda o hacia la derecha correcta o incorrecta, el grado de movimiento, la interrelación entre las figuras (congruencias, discrepancias, interinfluencias, perseveración, tendencia a clasificar los dibujos, agrupación de figuras similares –horizontales, a base de puntos, etc.- independencia o conexión de las figuras entre sí), el afán de perfección, formalismo, tendencia a las respuestas abstractas o concretas, auxilio mecánico (trazado de líneas auxiliares; uso de goma), etc.
