sucesión de Cauchy

Cauchy, sucesión de

 
mat. Sucesión infinita { xn} que cumple: para un ∊ > 0 cualquiera, existe un número natural M tal que para todo n, m > M se verifica Cauchy, sucesión de . Se demuestra que toda sucesión de Cauchy es convergente.
Ejemplos ?
Existencia del punto fijo: La demostración se sigue de que la sucesión así definida es una sucesión de Cauchy por ser la función contractiva.
En análisis funcional un espacio métrico X se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge Espacio recubridor o espacio cubriente se utiliza en ciencias tales como la geometría diferencial, los grupos de Lie, superficies de Riemann, homotopía, etc.
Esto quiere decir que un espacio de Banach es un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos con una norma · tal que toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d (x, y) = x - y) en V tiene un límite en V.
Entonces, como todo real es límite de alguna sucesión de Cauchy de racionales, la completitud de la norma extiende la linealidad sobre toda la recta real.
Primero se define que una sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por x_i. Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.
Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo epsilon in mathbb Q+ existe un n_0 in mathbb N tal que para todo m,n geq n_0 se cumple x_m-x_n.
La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy).
Se puede escribir: lim_ n to + infty u_n ell Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, mathbb C es también completo).!-- Sucesiones en mathbb R ó mathbb C El conjunto de los números reales mathbb R al igual que el conjunto de los números complejos mathbb C se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos x, y en mathbb R ó mathbb C, la función d(x,y):= vert y-x vert determina una métrica.
El teorema procede por inducción construyendo una serie de funciones vectoriales que converge hacia la solución única del problema: Probando que la anterior sucesión es una sucesión de Cauchy y dado que el espacio de funciones vectoriales continuas es completo se sigue existe un único límite de dicha solución.
Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema.
Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades: Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero.