epimorfismo

epimorfismo

 
m. mat. Morfismo epiyectivo o exhaustivo.
Ejemplos ?
Dado un grupo abeliano A, siempre existe un grupo abeliano libre F y un epimorfismo (esto es, un homomorfismo sobreyectivo) del grupo de F en A.
Esto significa que todo monomorfismo es el núcleo de algún morfismo y que todo epimorfismo es el conúcleo de algún morfismo. La estructura de grupo abeliano en cada conjunto de homomorfismos es una consecuencia de los tres axiomas de la primera definición, esto muestra la importancia fundamental de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canonica.
De forma alterna, puede ser definido como la única composición A → 0 → B, donde 0 es el objeto cero de la categoría. En una categoría abeliana, todo morfismo f se puede escribir como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo.
Esté epimorfismo recibe el nombre de coimagen of f mientras que el monomorfismo es llamado la imagen de f. Toda categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos finitamente generados, esto es, podemos formar el producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto A de A.
Esto es equivalente a decir que ker(f) = 0. Se dice que f es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, f(R)S. No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos).
La razón es que el término epimorfismo tiene un significado más general en Teoría de Categorías. Desde este punto de vista (categórico), un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.
Un retracto que es homotópico a la identidad se denomina retracto de deformación. El término también se usa en teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo que se separa.
(2) Si las filas del diagrama conmutativo son exactas y m y p son monomorfismos y además l es un epimorfismo, entonces n es un monomorfismo.
El lema de los cinco afirma que, si las filas son secuencias exactas, m y p son isomorfismos, l es un epimorfismo y q es un monomorfismo, entonces n es también un isomorfismo.
Los dos lemas de los cuatro afirman: (1) Si las filas del diagrama conmutativo son secuencias exactas y m y p son epimorfismos y además q es un monomorfismo, entonces n es un epimorfismo.
Para la persecución de diagramas, se asumirá que existe una categoría de módulos sobre un cierto anillo, de tal manera que puede hablarse de elementos de los objetos en l diagrama y considerar que los morfismos del diagrama son funciones (de hecho, homomorfismos) que actúan sobre esos elementos. En ese caso un morfismo es un monomorfismo si y solo si es inyectivo y es un epimorfismo si y solo si es suprayectivo.
Para las resoluciones proyectivas, esta condición se hace invisible: una precubierta proyectiva es un epimorfismo de un módulo proyectivo.