ecuaciones de Cauchy

Cauchy, ecuaciones de

 
mat. Para que una función compleja f. (z) = u (x, y) + iv. (x, y) donde Cauchy, ecuaciones de1 tenga derivada, deben cumplirse las condiciones: Cauchy, ecuaciones de2; Cauchy, ecuaciones de3
Ejemplos ?
Basta con exigir que estas últimas verifiquen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: O usando coordenadas complejas z1, ldots, zn y sus conjugadas bar z1, ldots, bar zn, observando que la expresión de (Phi_j circ Phi_i -1)(z1, ldots, zn, bar z1, ldots, bar zn) verifique partial(Phi_j circ Phi_i -1) over partial bar zk = 0, siendo independiente, por tanto, de todas las bar zk.
Una forma de probarlo es:: f(z) = varphi(x,y) + i psi(x,y), entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen:: psi_x varphi_x., Esta relación no determina psi, solo sus incrementos:: d psi = - varphi_y, dx + varphi_x, dy., La ecuación de Laplace para varphi implica que la condición de integrabilidad para psi se satisface:: psi_ xy = psi_ yx, y así psi puede definirse con una integral de línea.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que: varphi_x-v., Así, para cada función analítica corresponde a un flijo de fluido incompresible estacionario e irrotational en el plano.
Publicado en Werke: Disertación sobre la teoría general de funciones de variable compleja, basada en las hoy llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La derivada (ver) de f es claramente f'(z)=2z (las reglas para derivar funciones complejas es similar a las funciones reales) por lo tanto Algunas formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann son las siguientes: Hay que hacer notar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no constituyen una condición suficiente, por lo que no valen por sí solas para demostrar la derivabilidad de una función en un punto.
Sin embargo, sí tenemos condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v con derivadas parciales primeras continuas en un entorno de z_0=(x_0,y_0).
Por consiguiente:: 1) f'(z_0):::: = partial_x u((x_0,y_0)) + i, partial_x v((x_0,y_0)) equiv u_x(x_0,y_0)+i,v_x(x_0,y_0): 2) f'(z_0):::: = frac 1 i partial_y u((x_0,y_0)) + partial_y v((x_0,y_0)) equiv v_y(x_0,y_0)-i,u_y(x_0,y_0) Si ahora igualamos 1 y 2, se deduce de manera inmediata el enunciado anterior, que se denomina ecuaciones de Cauchy-Riemann Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier z=x+iy.
Es decir, si z=x + i.y, y si: f(z) = u(x,y) + i.v(x,y), entonces la condición necesaria para que f(z) sea analítica es que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:: u_x -u_y., donde u x es la primera derivada parcial de u con respecto a x.
Entonces se tiene: donde operatorname Res (f, z_k) es el Residuo de la función f en el punto singular z_k. Sea f holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial f(z),dz es cerrada.
Si se identifica C con R ², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.
-- La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa son funciones armónicas. Esto se deriva de que toda función holomorfa verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Esto nos muestra que L (z) es holomorfa sobre cada z en U, y L ′(z) = 1/ z. Otra forma de probar esto es a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.