Ejemplos ?
En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.
Como anhelo, Gauss quería grabar en su lápida un polígono regular de 17 lados, sin embargo el artesano encargado se negó debido a la complejidad de su confección y que además no se diferenciaría de un círculo. Cabe destacar que Gauss demostró que el polígono regular de 17 lados es construible con regla y compás, ahí su anhelo.
Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones.
Una condición de consistencia de un conjunto de axiomas o fórmulas es que dicho conjunto admita una interpretación, es decir, que las fórmulas sean realizables/interpretable en un conjunto efectivamente construible.
En dicho trabajo introdujo el universo construible, un modelo de la teoría de conjuntos en el cual los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples.
Gödel mostró que tanto el axioma de elección (AC) y la hipótesis del continuo generalizada (HCG) son verdaderas en el universo construible y por lo tanto deben de ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF).
Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema.
Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un número construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de 2.
Hay una biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferencia construible. Los ángulos construibles forman un grupo abeliano bajo la suma-módulo 2 pi; (que se corresponde con la multiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos).
Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo de los números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada.
Cuando N = 5.El término puede aparecer en discusiones sobre la cuarta dimensión. El espacio abstracto de cinco dimensiones ocurre frecuentemente en las matemáticas, es perfectamente construible.
Si se es capaz de construir un punto dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese punto es un número complejo construible.