axiomas de Peano

Peano, axiomas de

 
mat. Conjunto de axiomas que definen a los números naturales y permiten construir la aritmética como un sistema hipotético-deductivo. Los cinco axiomas son: 1) La unidad de un número; 2) el sucesivo de un número es otro número; 3) si a y b son dos números cuyos sucesivos son iguales, entonces a y b son iguales; 4) la unidad no tiene ningún número inferior a él, y 5) si C es un conjunto de números que contienen a la unidad y si el conjunto S formado por los sucesivos de los números contenidos en C cumple Peano, axiomas de , entonces todo número está contenido en C.
Ejemplos ?
Formalizaciones de los números naturales tienen sus propias representaciones de 1: en los axiomas de Peano, 1 es el sucesor de 0; en Principia Mathematica, 1 se define como el conjunto de todos los singletons (define con un elemento); en la asignación de Von Neumann cardinal de los números naturales, 1 se define como el conjunto 0.
La consistencia de los axiomas de Peano para los números naturales por ejemplo se puede demostrar en la teoría de conjuntos, pero no en la teoría de los números naturales por sí sola.
Otro ejemplo de una especificación de una teoría en la que el primer teorema de Gödel no es aplicable se puede construir de la siguiente manera: ordenemos todas las posibles declaraciones sobre los números naturales primero por su longitud y luego en orden lexicográfico; comencemos con un sistema axiomático inicialmente igual a los axiomas de Peano, repasemos la lista de declaraciones una a una, y, si la declaración actual no se puede demostrar ni refutar a partir del actual sistema de axiomas, entonces añadámosla a la lista.
Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, sentando bases para la teoría de conjuntos, junto con Frege y Cantor, y dando una fundamentación muy rigurosa de los llamados Axiomas de Peano (publicados por el italiano un año más tarde).
El conjunto de las funciones primitivas recursivas se define según las siguientes reglas: Para todo k 0, para todo número natural n 1, n 2, .., n k, es primitiva recursiva. La función sucesor S, de aridad 1, que produce el siguiente entero según los axiomas de Peano, es primitiva recursiva.
Una teoría como la de axiomas de Peano no puede siquiera probar su propia consistencia, de modo que un subconjunto limitado finitista del mismo seguramente no puede probar la consistencia de teorías más poderosas, como la teoría de conjuntos.
Pocos años después, Gentzen dio una prueba de consistencia para los axiomas de Peano, cuya única parte que no era claramente finitista era una cierta inducción transfinita hasta el ordinal ε 0.
Demostración de la tesis con base a la hipótesis: sum_ k sum_ k=1 h (2k - 1) 3k +(2(h+1) - 1) 3 h+1: Se aplica la hipótesis de inducción:: sum_ k (h - 1) 3 h+1 + 3 + 2(h+1) - 1 3 h+1: sum_ k (h - 1) 3 h+1 + 3 + (2h+2 - 1) 3 h+1: sum_ k 3 h+1 (h - 1 + 2h + 1) + 3 (sacando factor común): sum_ k 3 h+1 3h + 3: sum_ k h 3 h+2 + 3:Por lo tanto, verificándose la proposición para nk+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica forall n in mathbb N. Recurrencia Número natural Paradoja del caballo Axiomas de Peano Inducción semiótica
Por ejemplo, de los axiomas de Peano es posible deducir todas las verdades de la aritmética (y por extensión, de otras partes de la matemática).
Sistema axiomático Axiomas de Zermelo-Fraenkel Postulado Dogma Sistema formal Regla de inferencia Teorema Axiomas de Peano Teoremas de incompletitud de Gödel Axiomas de Hilbert
Dicho programa pretendía librar de paradojas el trabajo matemático mediante la formalización y la axiomatización explícita de diversas ramas de la matemática. En el caso de la aritmética, ya Giuseppe Peano había propuesto los llamados «axiomas de Peano» para la aritmética.
En dicho artículo demostró que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (e.g. los axiomas de Peano (o ZFC), entonces: Si el sistema es coherente no puede ser completo.